复变函数：复数基本知识、欧拉公式、复变函数的导数、解析函数
实变函数（高等数学）主要内容：
微积分（一元、二元、多元）级数理论常微分方程
复变函数：
研究对象：自变量为复数的函数主要任务：研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分主要内容：复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、保形映射、积分变换等。
一、复数基本知识
1.1 复数基本概念
对任意两实数x, y，称
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z=x+iy 或
z
=
x
+
y
i
z=x+yi
z=x+yi 为复数，其中
i
2
=
−
1
i^2=-1
i2=−1 ，
i
i
i 称为虚部
复数
z
z
z 的实部
R
e
(
z
)
=
x
Re(z)=x
Re(z)=x，虚部
I
m
(
z
)
=
y
Im(z)=y
Im(z)=y
复数的模：
∣
z
∣
=
x
2
+
y
2
≥
0
|z|=\sqrt{x^2+y^2}\ge0
∣z∣=x2+y2
≥0
复数相等：
z
1
=
z
2
⟺
x
1
=
x
2
,
y
1
=
y
2
z_1=z_2 \iff x_1=x_2,y_1=y_2
z1=z2⟺x1=x2,y1=y2，其中
z
1
=
x
1
+
i
y
1
,
z
2
=
x
2
+
i
y
2
z_1=x_1+iy_1,z_2=x_2+iy_2
z1=x1+iy1,z2=x2+iy2
z
=
0
⟺
R
e
(
z
)
=
I
m
(
z
)
=
0
z=0\iff Re(z)=Im(z)=0
z=0⟺Re(z)=Im(z)=0
一般两个复数不能比较大小。
共轭复数：若
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z=x+iy，称
z
‾
=
x
−
i
y
\overline{z}=x-iy
z=x−iy 为
z
z
z 的共轭复数。
1.2 复数的几何表示
1.2.1 用点表示：
z
=
x
+
i
y
⟺
z=x+iy \iff
z=x+iy⟺ 复平面上的点
P
(
x
,
y
)
P(x,y)
P(x,y)
复平面上横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴。
1.2.2 用向量表示：
z
=
x
+
i
y
⟺
O
P
→
=
{
x
,
y
}
z=x+iy\iff \overrightarrow{OP}=\{x,y\}
z=x+iy⟺OP
={x,y}
此时我们用向量
O
P
→
\overrightarrow{OP}
OP
来表示
z
=
x
+
i
y
z=x+iy
z=x+iy。复数的模是向量的长度
∣
z
∣
=
∣
O
P
→
∣
=
x
2
+
y
2
|z|=|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{x^2+y^2}
∣z∣=∣OP
∣=x2+y2
。而复数的幅角指向量与正实轴之间的夹角
θ
=
A
r
g
z
=
(
O
P
→
,
x
)
\theta=Arg_z=(\overrightarrow{OP},x)
θ=Argz=(OP
,x)（
t
a
n
(
A
r
g
z
)
=
y
x
tan(Argz)={y\over x}
tan(Argz)=xy），注意当z=0时，幅角无意义，且幅角是无穷多的：
A
r
g
z
=
θ
=
θ
0
+
2
k
π
Arg_z=\theta=\theta_0+2k\pi
Argz=θ=θ0+2kπ，其中满足
−
π
<
θ
0
<
π
-\pi<\theta_0<\pi
−π<θ0<π 的
θ
0
\theta_0
θ0 称为幅角
A
r
g
z
Arg_z
Argz 的主值，记作：
θ
0
=
A
r
g
z
\theta_0=Arg_z
θ0=Argz。
1.2.3 用三角函数来表示：
用复数的模与幅角来表示非零复数z：
由
{
x
=
r
c
o
s
θ
y
=
r
s
i
n
θ
得
:
z
=
r
(
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
)
由\begin{cases}x=rcos\theta\\y=rsin\theta\end{cases}\quad得:\quad z=r(cos\theta+isin\theta)
由{x=rcosθy=rsinθ得:z=r(cosθ+isinθ)
1.2.4 用指数表示
由欧拉公式（在第二部分介绍了欧拉公式）：
e
i
θ
=
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta
eiθ=cosθ+isinθ 可得非零复数
z
z
z 的指数表达式：
z
=
r
e
i
θ
z=re^{i\theta}
z=reiθ
1.2 复数的乘幂与方根
1.2.1 复数的乘积与熵
利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：
定理：
设
z
1
,
z
2
z_1,z_2
z1,z2是两个非零复数：
z
1
=
∣
z
1
∣
(
c
o
s
A
r
g
z
1
+
i
s
i
n
A
r
g
z
1
)
=
∣
z
1
∣
e
i
(
A
r
g
z
1
)
z
2
=
∣
z
2
∣
(
c
o
s
A
r
g
z
2
+
i
s
i
n
A
r
g
z
2
)
=
∣
z
2
∣
e
i
(
A
r
g
z
2
)
z_1=|z_1|(cosArg_{z_1}+isinArg_{z_1})=|z_1|e^{i(Argz_1)} \\z_2=|z_2|(cosArg_{z_2}+isinArg_{z_2})=|z_2|e^{i(Argz_2)}
z1=∣z1∣(cosArgz1+isinArgz1)=∣z1∣ei(Argz1)z2=∣z2∣(cosArgz2+isinArgz2)=∣z2∣ei(Argz2)
则：
∣
z
1
z
2
∣
=
∣
z
1
∣
∣
z
2
∣
,
A
r
g
(
z
1
z
2
)
=
A
r
g
(
z
1
)
+
A
r
g
(
z
2
)
∣
z
1
z
2
∣
=
∣
z
1
∣
∣
z
2
∣
(
z
2
≠
0
)
,
A
r
g
(
z
1
z
2
)
=
A
r
g
(
z
1
)
−
A
r
g
(
z
2
)
|z_1z_2|=|z_1||z_2|,\quad Arg(z_1z_2)=Arg(z_1)+Arg(z_2)\\ |{z_1\over z_2}|={|z_1|\over|z_2|}(z_2\ne0),\quad Arg({z_1\over z_2})=Arg(z_1)-Arg(z_2)
∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣,Arg(z1z2)=Arg(z1)+Arg(z2)∣z2z1∣=∣z2∣∣z1∣(z2=0),Arg(z2z1)=Arg(z1)−Arg(z2) (?)
乘法的几何意义：将复数
z
1
z_1
z1按逆时针方向旋转一个角度Arg(
z
2
z_2
z2)，再将其伸缩到
∣
z
2
∣
|z_2|
∣z2∣倍。
1.2.2 复数的乘幂
n个相同复数
z
z
z 的乘积
z
n
z^n
zn 称为
z
z
z 的
n
n
n 次幂：
z
n
=
z
z
.
.
.
z
=
r
n
e
i
n
θ
=
r
n
(
c
o
s
n
θ
+
i
s
i
n
n
θ
)
z^n=zz...z=r^ne^{in\theta}=r^n(cosn\theta+isinn\theta)
zn=zz...z=rneinθ=rn(cosnθ+isinnθ)
特别地：当
∣
z
∣
=
r
=
1
|z|=r=1
∣z∣=r=1时，
z
n
=
(
cos
n
θ
+
i
sin
n
θ
)
z^n=(\cos n\theta+i\sin n\theta)
zn=(cosnθ+isinnθ)，此时有：
(
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
)
n
=
c
o
s
n
θ
+
i
s
i
n
n
θ
(cos\theta+isin\theta)^n=cosn\theta+isinn\theta
(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
这个公式称为De Moivre公式。
令
z
−
n
=
1
z
n
z^{-n}={1\over z^n}
z−n=zn1 ，则：
z
−
n
=
r
−
n
e
−
i
n
θ
=
r
−
n
(
c
o
s
(
−
n
θ
)
+
i
s
i
n
(
−
n
θ
)
)
z^{-n}=r^{-n}e^{-in\theta}=r^{-n}(cos(-n\theta)+isin(-n\theta))
z−n=r−ne−inθ=r−n(cos(−nθ)+isin(−nθ))
1.2.3 复数的方根
设
z
=
r
e
i
θ
z=re^{i\theta}
z=reiθ 为已知复数，n为正整数，则称满足方程
w
n
=
z
w^n=z
wn=z 的所有
w
w
w 值为
z
z
z 的n次方根，记为
w
=
z
n
w=\sqrt[n]{z}
w=nz
。
设
w
=
ρ
e
i
φ
w=\rho e^{i\varphi}
w=ρeiφ，则
ρ
n
e
i
n
φ
=
r
e
i
θ
\rho^ne^{in\varphi}=re^{i\theta}
ρneinφ=reiθ，此时可得：
ρ
=
r
n
,
φ
=
θ
+
2
k
π
n
,
k
=
0
,
±
1
,
±
2
,
⋯
\rho=\sqrt[n]{r},\ \varphi=\frac{\theta+2k\pi}{n},\ k=0,\pm1,\pm2,\cdots
ρ=nr
, φ=nθ+2kπ, k=0,±1,±2,⋯
w
=
r
n
e
i
θ
+
2
k
π
n
=
r
1
n
(
cos
θ
+
2
k
π
n
+
i
sin
θ
+
2
k
π
n
)
w=\sqrt[n]{r}e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}}=r^{\frac{1}{n}}(\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+i\sin \frac{\theta+2k\pi}{n})
w=nr
einθ+2kπ=rn1(cosnθ+2kπ+isinnθ+2kπ)
当
k
=
0
,
1
,
2
,
…
,
n
−
1
k=0,1,2,\dots,n-1
k=0,1,2,…,n−1时，得到n个相异的根：
w
0
=
r
1
n
(
cos
θ
n
+
i
sin
θ
n
)
w
1
=
r
1
n
(
cos
θ
+
2
π
n
+
i
sin
θ
+
2
π
n
)
w
2
=
r
1
n
(
cos
θ
+
4
π
n
+
i
sin
θ
+
4
π
n
)
⋮
w
n
−
1
=
r
1
n
(
cos
θ
+
2
(
n
−
1
)
π
n
+
i
sin
θ
+
2
(
n
−
1
)
π
n
)
w_0=r^{\frac{1}{n}}(\cos\frac{\theta}{n}+i\sin \frac{\theta}{n})\\ w_1=r^{\frac{1}{n}}(\cos\frac{\theta+2\pi}{n}+i\sin \frac{\theta+2\pi}{n})\\ w_2=r^{\frac{1}{n}}(\cos\frac{\theta+4\pi}{n}+i\sin \frac{\theta+4\pi}{n})\\ \vdots\\ w_{n-1}=r^{\frac{1}{n}}(\cos\frac{\theta+2(n-1)\pi}{n}+i\sin \frac{\theta+2(n-1)\pi}{n})
w0=rn1(cosnθ+isinnθ)w1=rn1(cosnθ+2π+isinnθ+2π)w2=rn1(cosnθ+4π+isinnθ+4π)⋮wn−1=rn1(cosnθ+2(n−1)π+isinnθ+2(n−1)π)
而k取其他整数时，这些根又会重复出现。（？）
https://wenku.baidu.com/view/95266a772e60ddccda38376baf1ffc4ffe47e29a.html
二、欧拉公式：
令
i
=
−
1
i=\sqrt{-1}
i=−1
，欧拉公式为：
e
i
x
=
c
o
s
x
+
i
s
i
n
x
e^{ix}=cosx+isinx
eix=cosx+isinx
欧拉公式的推导用到了泰勒展开，至于
e
i
x
e^{ix}
eix为什么可以泰勒展开需要证明，这里忽略(?)：
e
i
x
=
1
+
i
x
+
(
i
x
)
2
2
!
+
(
i
x
)
3
3
+
(
i
x
)
4
4
!
+
(
i
x
)
5
5
!
+
(
i
x
)
6
6
!
+
.
.
.
=
1
+
i
x
−
x
2
2
!
−
i
x
3
3
!
+
x
4
4
!
+
i
x
5
5
!
−
x
6
6
!
=
(
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
.
.
.
)
+
i
(
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
.
.
.
)
=
c
o
s
x
+
i
s
i
n
x
e^{ix}=1+ix+{(ix)^2\over 2!}+{(ix)^3\over 3}+{(ix)^4\over 4!}+{(ix)^5\over 5!}+{(ix)^6\over 6!}+...\\ =1+ix-{x^2\over2!}-{ix^3\over3!}+{x^4\over4!}+{ix^5\over5!}-{x^6\over6!}\quad\quad\quad\quad\quad\ \ \\ =(1-{x^2\over2!}+{x^4\over4!}-{x^6\over6!}+...)+i(x-{x^3\over3!}+{x^5\over5!}-...)\ \ \\ =cosx+isinx\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ \ \
eix=1+ix+2!(ix)2+3(ix)3+4!(ix)4+5!(ix)5+6!(ix)6+...=1+ix−2!x2−3!ix3+4!x4+5!ix5−6!x6 =(1−2!x2+4!x4−6!x6+...)+i(x−3!x3+5!x5−...) =cosx+isinx
欧拉公式的一个变形：
e
i
x
=
c
o
s
x
+
i
s
i
n
x
e^{ix}=cosx+isinx
eix=cosx+isinx
e
−
i
x
=
c
o
s
x
−
i
s
i
n
x
e^{-ix}=cosx-isinx
e−ix=cosx−isinx
相加相减可以得到：
s
i
n
x
=
(
e
i
x
−
e
−
i
x
)
/
2
i
sinx={(e^{ix}-e^{-ix})/2i}
sinx=(eix−e−ix)/2i
c
o
s
x
=
(
e
i
x
+
e
−
i
x
)
/
2
cosx={(e^{ix}+e^{-ix})/2}
cosx=(eix+e−ix)/2
三、复变函数的导数
3.1 导数的定义
3.2 求导公式与法则（实函数中求导法则的推广）
常数的导数
c
′
=
(
a
+
i
b
)
′
=
0
c'=(a+ib)'=0
c′=(a+ib)′=0
(
z
n
)
′
=
n
z
n
−
1
(z^n)'=nz^{n-1}
(zn)′=nzn−1（n是自然数）设函数
f
(
z
)
,
g
(
z
)
f(z),g(z)
f(z),g(z)均可导，则：
[
f
(
z
)
±
g
(
z
)
]
′
=
f
′
(
z
)
±
g
′
(
z
)
[f(z)\pm g(z)]'=f'(z)\pm g'(z)
[f(z)±g(z)]′=f′(z)±g′(z)
[
f
(
z
)
g
(
z
)
]
′
=
f
′
(
z
)
g
(
z
)
+
f
(
z
)
g
′
(
z
)
[f(z)g(z)]'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z)
[f(z)g(z)]′=f′(z)g(z)+f(z)g′(z)
[
f
(
z
)
g
(
z
)
]
′
=
f
′
(
z
)
g
(
z
)
−
f
(
z
)
g
′
(
z
)
g
2
(
z
)
(
g
(
z
)
≠
0
)
[{f(z)\over g(z)}]'={f'(z)g(z)-f(z)g'(z)\over g^2(z)}\quad(g(z)\ne0)
[g(z)f(z)]′=g2(z)f′(z)g(z)−f(z)g′(z)(g(z)=0)复合函数的导数：
f
[
g
(
z
)
]
′
=
f
′
(
g
(
z
)
)
g
′
(
z
)
f[g(z)]'=f'(g(z))g'(z)
f[g(z)]′=f′(g(z))g′(z)反函数的导数：
f
′
(
z
)
=
1
ϕ
′
(
w
)
f'(z)={1\over \phi'(w)}
f′(z)=ϕ′(w)1，其中：
w
=
f
(
z
)
w=f(z)
w=f(z)，与
z
=
ϕ
(
w
)
z=\phi(w)
z=ϕ(w)互为单值的反函数，且
ϕ
′
(
w
)
≠
0
\phi'(w)\ne0
ϕ′(w)=0
注意：
复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为
△
z
→
0
\triangle z\to0
△z→0是在平面区域上以任意方式趋于零的缘故。在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是狠苦难的，但在复变函数中，却轻而易举
3.3 可导与连续
四、解析函数
4.1 定义
4.2 定理
4.3 解析函数的充要条件
https://wenku.baidu.com/view/532c39681eb91a37f1115c77.html 复变函数基本初等函数